Produit vectoriel ( cours ) 1re Ann ST Dfinition : soit E Soit E un espace vectoriel euclidien orient de dimension 3. Par le choix d'une base orthonorme, E peut tre identifi avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoi

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  Produit vectoriel ( cours ) 1re Ann ST Dfinition : soit E Soit E un espace vectoriel euclidien orient de dimension 3. Par le choix d'une base orthonorme, E peut tre identifi avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoi

         
Roshan






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: Produit vectoriel ( cours ) 1re Ann ST Dfinition : soit E Soit E un espace vectoriel euclidien orient de dimension 3. Par le choix d'une base orthonorme, E peut tre identifi avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoi   2011-02-18, 16:43

Dfinition : soit E


Soit E un espace vectoriel euclidien orient de dimension 3. Par le choix d'une base orthonorme, E peut tre identifi avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoire pour dfinir le produit vectoriel.
D'un point de vue gomtrique, le produit vectoriel de deux vecteurs et de E non colinaires se dfinit comme l'unique vecteur tel que :

En particulier :


  • deux vecteurs sont colinaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul ;
  • deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si la norme de leur produit vectoriel est gale au produit de leurs normes.
La notion d'orientation peut ici tre comprise de manire lmentaire en utilisant la rgle de la main droite : le pouce, l'index et le majeur carts en un tridre indiquent respectivement le sens de u, de v et de w. Cette dfinition, utilise dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante.
Dfinition par le produit mixte[modifier]

Une seconde dfinition utilise la thorie des dterminants et la notion de produit mixte comme point de dpart. Le produit mixte de trois vecteurs u,v,w, not [u,v,w], est le dterminant de ces trois vecteurs dans une base orthonormale
directe quelconque. La formule de changement de base montre que ce
dterminant est indpendant du choix de la base ; gomtriquement il est
gal au volume orient du paralllpipde appuy sur les vecteurs u,v,w. Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v est l'unique vecteur tel que, pour tout w, on a :
. L'existence et l'unicit d'un tel vecteur sont un cas particulier simple du thorme de reprsentation de Riesz. Le produit vectoriel s'interprte comme les variations du volume orient d'un paralllpipde en fonction du troisime ct.
Avec une telle dfinition, il est possible de dfinir, dans un espace vectoriel orient de dimension n + 1, le produit vectoriel de n vecteurs.
[Drouler] Équivalence des deux premires dfinitions
Prenons la seconde dfinition ; et appliquons l'identit ci-dessus w= u et v respectivement. On obtient : et . Donc, le vecteur est orthogonal u et v. De plus, si u,v,w forme une base directe, le produit mixte [u,v,w] est strictement positif. De fait, et w ne sont pas spars par le plan vectoriel engendr par u et v. Autrement dit, u, v, uv forme une base directe. Si w est de plus unitaire (de norme 1), alors n'est autre que la norme euclidienne de u v. Cette dernire est donc le produit mixte [u,v,w] ; soit le volume orient du paralllipipde appuy sur u, v et w. Ce volume est le produit de la hauteur par l'aire de la base . De suite : .

Calcul en composantes[modifier]

Le choix d'une base orthonorme directe donne une identification de E et de ℝ3. Notons les coordonnes u=(u1, u2, u3) et v=(v1, v2, v3). Leur produit vectoriel est donn par :

Cette identit pourrait tre prise comme une troisime dfinition,
condition de prouver que le vecteur obtenu est indpendant de la base
orthonormale directe choisie pour le calculer.
[Drouler] Calculs
Introduisons un vecteur w= (w1,w2,w3) et utilisons la dfinition par le produit mixte. Ce dernier est donn par :
En dveloppant le dterminant par rapport la troisime colonne :
.
. Ce qui donne les coefficients de .


Proprits[modifier]

Proprits algbriques[modifier]

Le produit vectoriel est un produit distributif, anticommutatif, non associatif :

Ces proprits dcoulent immdiatement de la dfinition du produit
vectoriel par le produit mixte et des proprits algbriques du
dterminant.
Le produit vectoriel satisfait l'identit de Jacobi, ce qui en fait un crochet de Lie :
D'autre part, il satisfait aux identits de Lagrange (galits du double produit vectoriel) :
[10] [Drouler] Dmonstration
Soient
On construit une base orthonorme directe de : On pose
Ensuite on choisit comme tant l'unique vecteur directement orthogonal dans le plan dfinit par .
Enfin on pose tel que
Dans cette base, les vecteurs ont pour coordonnes :
avec a,b,c,d,e,f rels.
Ainsi :
.
De mme :
.

D'o l'galit.


En partant de l'identit algbrique :
.
, on peut dmontrer facilement l'galit (Identit de Lagrange) :
que l'on peut aussi crire sous la forme :
ce qui quivaut l'identit trigonomtrique :
, et qui n'est rien d'autre qu'une des faons d'crire le thorme de Pythagore.
Invariance par isomtries[modifier]

Le produit vectoriel est invariant par l'action des isomtries vectorielles directes. Plus exactement, pour tous vecteurs u et v de E et pour toute rotation f de E, on a :
. Cette identit peut tre prouve diffremment suivant l'approche adopte :
Dfinition gomtrique : L'identit est immdiate avec la premire dfinition, car f prserve l'orthogonalit, l'orientation et les longueurs.
Produit mixte : L'isomorphisme linaire f laisse invariant le produit mixte de trois vecteurs. En effet, le produit mixte de f(u), f(v), f(w) peut tre calcul dans l'image par f de la base orthonorme directe dans la quelle le produit mixte de u, v et w est calcul. De fait, l'identit prcdente s'obtient immdiatement :
.
. Dfinitions alternatives[modifier]

Comme produit de Lie[modifier]

Toute isomtrie directe de R3 est une rotation vectorielle. L'ensemble des isomtries directes forme un groupe de Lie classique not SO(3) (autrement dit, un sous-groupe ferm de GL3(R)). Son algbre de Lie, note so(3) est la sous-algbre de Lie de gl3(R) dfinie comme l'espace tangent de SO(3) en l'identit. Un calcul direct montre qu'il est l'espace des matrices antisymtriques de taille 3. Cet espace est a fortiori stable par le crochet de Lie.
Toute matrice antisymtrique M de taille 3 s'crit de manire unique :
. En identifiant M et le vecteur (a, b, c), on dfinit un isomorphisme linaire entre so(3) et R3. Le crochet de Lie se transporte via cet isomorphisme, et R3 hrite d'une structure d'algbre de Lie. Le crochet [u, v] de deux vecteurs est prcisment le produit vectoriel de u et de v.
En effet, si u1=(a1, b1, c1), et u2=(a2, b2, c2), leur crochet se
calcule en introduisant les matrices antisymtriques correspondantes M1 et M2 :
.

Le vecteur correspondant, savoir [u1,u2], a donc pour coordonnes
(b1c2-b2c1, a2c1-a1c2, a1b2-a2b1). Cette approche redfinit donc le
produit vectoriel.
Si on suit cette approche, il est possible de prouver directement l'invariance du produit vectoriel par isomtries
. En tant qu'algbres de Lie, so(3) a t identifi R3. L'action (linaire) de SO3(R) sur R3 s'identifie l'action par conjugaison sur so(3). SO3(R) opre donc par automorphisme d'algbres de Lie. Autrement dit, l'identit ci-dessus est vrifie.
Comme produit de quaternions imaginaires[modifier]

Il est possible de retrouver produit vectoriel et produit scalaire partir du produit de deux quaternions purs. Pour rappel, le corps (non commutatif) des quaternions H est l'unique extension de R de dimension 4. Sa base canonique est (1, i, j, k) o le sous-espace engendr par i, j, k forme l'espace des quaternions purs, canoniquement identifi avec R3. Ces lments vrifient :
;
.
. Si q1=a1i+b1j+c1k et q2 = a2i+b2j+c2k, le produit q1q2 se calcule immdiatement :
q1q2 = − (a1a2 + b1b2 + c1c2) + (b1c2 − b2c1)i + (c1a2 − c2a1)j + (a1b2 − a2b1)k. La partie relle est au signe prs le produit scalaire de q1 et de q2, la partie imaginaire est un quaternion pur qui correspond au produit vectoriel, aprs identification avec R3.
Cette concidence trouve ses explications dans le paramtrage du groupe SO(3) par les quaternions unitaires.
[Drouler] Élments d'explication
L'application linaire envoyant 1 sur 1, i sur -i, j sur -j et k sur -k est appele la conjugaison. Le conjugu d'un quaternion q est not . Un quaternion est un rel si et seulement s'il est gal son conjugu. L'application dfinit un produit scalaire sur l'espace vectoriel H. Un quaternion est dit unitaire lorsqu'il est de norme
1. Dans ce cas, il suit de la dfinition mme du produit scalaire
qu'il est inversible et que son inverse est son conjugu. L'ensemble
des quaternions unitaires, la sphre unit S3, forme un groupe (de Lie) compact et simplement connexe. Il agit sur l'espace des quaternions imaginaires par conjugaison. Pour tout quaternion unitaire u et pour tout quaternion imaginaire q :
. Cette action prserve la norme ; autrement dit, c'est une action par isomtries. Elle dfinit donc un morphisme de groupes :
Ce morphisme est en ralit le revtement universel du groupe SO(3). Il induit donc un isomorphisme entre les algbres de Lie.
L'algbre de Lie de S3 est justement l'espace des quaternions
imaginaires munis du crochet de Lie obtenu comme la partie imaginaire
du produit des quaternions. Cette algbre de Lie est isomorphe
l'algbre de Lie R3 (muni du produit vectoriel).
C'est la raison fondamentale pour laquelle la partie imaginaire de
deux quaternions imaginaires s'identifie au produit vectoriel.



Il est de nouveau possible de justifier l'invariance par isomtrie.
Toute isomtrie de l'espace des quaternions imaginaires s'crit comme la
conjugaison par un quaternion unitaire. Si q est un quaternion unitaire, et q1, q2 sont des quaternions imaginaires, il suffit de constater :
pour en dduire l'invariance par isomtrie du produit vectoriel
    
 
Produit vectoriel ( cours ) 1re Ann ST Dfinition : soit E Soit E un espace vectoriel euclidien orient de dimension 3. Par le choix d'une base orthonorme, E peut tre identifi avec l'espace R3, mais cette identification n'est pas obligatoi
          
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